Bài toán khoảng cách trong hình học không gian là một bài toán quan trọng, thường xuất hiện trong các câu hỏi mang tính chất vận dụng và kiểm soát nhiều. Các vấn đề từ xa bao gồm:
Khoảng cách từ vị trí đến sân bay; Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Chính xác bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia; Khoảng cách giữa các đường thẳng và các mặt phẳng song song: Chính xác bằng khoảng cách từ bất kỳ điểm nào trên đường thẳng đến bề mặt. chuyến bay nhất định;
Vì vậy, ba dạng toán đầu tiên đề cập đến Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng có trong bài viết này.
Bạn xem: Cách sân bay 1 phút
SÁCH HHKG GIÁ TỐT NHẤT TRÊN SHOPEE
Ngoài ra, các em cũng nên biết 2 dạng toán liên quan đến góc trên không:
1. Cách tìm khoảng cách từ địa điểm đến mặt phẳng
Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, bài toán quan trọng nhất là dựng ảnh của điểm đó trên mặt phẳng.
Nếu bạn đang gặp rắc rối với bằng chứng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta đã biết tiêu cự rồi thì ở bài toán dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta phải tìm đường thẳng (dựng) và chứng minh đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng cho trước, ví dụ mức độ sẽ khó hơn so với vấn đề chứng minh.
Tuy nhiên, quá trình xác định hình chiếu vuông góc của một điểm trên mặt phẳng trở nên dễ dàng hơn nếu ta chắc chắn về hai kết quả. Sau đây.
Bài toán 1. Tạo hình chiếu vuông góc từ mặt đất lên mặt phẳng.
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$. Xác định phương của điểm $A$ trên mặt phẳng $(SBC)$.
Cách. Dựng hình biểu diễn của điểm $A$ trên mặt phẳng $(SBC)$, ta chỉ cần bình phương hai lần như sau:
Trong mặt phẳng đáy $(ABC)$, vẽ $AH$ vuông góc với $BC, H$ và $BC. $Trong mặt phẳng $(SAH)$, vẽ $AK$ vuông góc với $SH, K$ thuộc $SH. $
Dễ dàng chứng minh rằng $K$ là hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $(P)$. Thật vậy, ta có $$ \begin{cases}BC\perp SA\\BC \perp AH\\\end{cases} $$ trong đó $SA$ và $AH$ là hai đường thẳng giao nhau trong mặt phẳng $(SAH) $ , nên \( BC \) vuông góc với \( (SAH) \), nên \( BC \ perp AK \). Vậy có $$ \begin{cases}AK\perp BC\\ AK\perp SH\end{cases} $$ Trong đó $BC, AH $ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SBC)$ nên \( AK \) vuông góc với \( (SBC) \), hay \( K \) là hình chiếu vuông góc của \ ( A \) trên mặt phẳng \ ( (SBC) \).
Dưới đây là hình minh họa trong đó dưới $ABC$ là tam giác vuông tại $A, $vuông tại $B, $vuông tại $C$, tam giác cân, tam giác đều…
Dưới đây $ABC$ là tam giác nằm bên phải $A$, thì $H$ là chân độ dài lấy từ đỉnh $A$ của tam giác \(ABC\), dễ dàng tìm ra công thức tính . Độ dài của đoạn $AK$ như sau: $$ \frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AB^2}+\frac{ 1}{ AC^2} $$
Gốc của $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ (khi đó $H$ trùng với điểm $B$).
Gốc của $ABC$ là tam giác vuông tại $C$ (khi đó $H$ trùng với điểm $C$).
Đáy của $ABC$ là tam giác cân tại $A$ hoặc tam giác đều (khi đó $H$ là trung điểm của $BC$).
Bài toán 2. Dựng phép chiếu vuông góc sử dụng giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc.
Cho hình chóp $S.ABC$ có hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ vuông góc với nhau. Xác định phương của điểm $A$ trên mặt phẳng $(SBC)$.
Cách. Rõ ràng ở đây hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ vuông góc với nhau tại giao điểm của đường thẳng $BC$. Vậy để dựng biểu thức vuông góc của \ ( A \) trên mặt phẳng \ ( ( (SBC) \) ta chỉ cần vẽ \ ( AK \) vuông góc với giao điểm \ ( BC \) là xong. {cases}(SBC )\perp (ABC)\\ (SBC)\cap (ABC) = BC\\ AK\subset (ABC)\\ AK\perp BC \end{cases} $$ Suy ra dòng $AK$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$, và $K$ là chiều vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $(SBC)$.
Ở đây ta sử dụng định lý, hai mặt phẳng vuông góc với nhau và cắt nhau tại giao tuyến. Mọi đường thẳng trong mặt phẳng thứ nhất vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng thứ hai.
2. Ví dụ tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABC,$ có $SA$ vuông góc với đáy, $SA=3a,$$AB=a,$$BC=2a,$$\widehat{ABC}=60^\circ. $ Chứng minh rằng tam giác $ABC $ là tam giác $ABC $ và tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC), $ khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC). $
Khuyên nhủ. Sử dụng định lý cosin trong tam giác \(ABC\), chúng ta có $$ AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot \cos\widehat{B}=3a^2 $$ Rõ ràng \ ( BC^2=AB^2+AC^2 \) sao cho tam giác \(ABC\) nằm bên phải của $A$. Lúc này dễ dàng nhận thấy \( A \) là hình chiếu vuông góc của \( B \) lên mặt phẳng \ ( (SAC) \), và khoảng cách cần tìm $$ d(B, (SAC) ) =BA=a. $$
Đối với những bạn chưa biết cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có thể xem thêm bài Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Để tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$, ta cho như sau đề toán 1 Nếu đáy là tam giác vuông (không viết lại ở đây), nghiệm là $$ d(A,(SBC))=AK=\frac{3a}{\sqrt{13}}$$
Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông của cạnh $a.$ Hai mặt phẳng $(SAB), $$(SAD)$ vuông góc với đáy và mặt bên $SD$ tạo với đáy một góc $45^ cơ sở \ xung quanh. $ Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC),$ khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$.
Khuyên nhủ. Hai mặt phẳng $(SAB),(SAD)$ cùng vuông góc với mặt đáy nên giao tuyến của chúng, đường thẳng \( SA \) vuông góc với mặt phẳng đáy \( (ABCD) \).
Nhắc lại một điểm quan trọng, nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau có một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Bây giờ, góc giữa đường thẳng \( SD \) và đáy là \( \widehat{SDA} \) và góc này bằng \( 45^\circ \). Do đó, tam giác \( SAD \) nằm bên phải \( A \) và \( SA=AD=a \).
Một tam giác cân \( SAB \) có \( AK \) là độ dài và trung điểm của cạnh huyền nên \( AK=\frac{1}{2}SB=\frac{a\sqrt{2}}) { 2}\).
Để tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC),$ ta thử coi mô hình là phần trong đề toán 1. Bằng cách vẽ đường vuông góc hai lần, lần đầu tiên trong mặt phẳng \ ( (ABCD) \) ta hạ đường vuông góc từ \( A \) xuống \ ( BC \), đây là nơi luôn tồn tại \ ( B \) . Vẽ đường vuông góc thứ hai, trong mặt phẳng \( (SAB) \) ta hạ đường vuông góc từ \( A \) xuống \ ( SB \), gọi \( AK \) thì độ dài đoạn thẳng \ ( AK \) là khoảng cách cần thiết.
Để tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ ta tiếp tục thực hiện tương tự trong đề toán 1. Ta vẽ đường vuông góc hai lần, lần thứ nhất kẻ từ \( A \) vuông góc xuống \( BC \) nằm chính giữa \ ( O \) của hình vuông (vì trong hình vuông hai đường chéo cùng vuông góc với hình vuông) . cùng nhau). Nối \( S \) và \( O \) rồi từ \( A \) hạ tiếp đường vuông góc với \( SO \ ), gọi \(AH \) thì ta chứng minh được \( H \) là hình chiếu vuông góc của \ ( A \) lên mặt phẳng \ ( (SBD) \). Chúng tôi có nó ngay bây giờ
$$ \frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{3 {a^2} $$
Sau đó tìm $AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ và khoảng cách cần thiết là $d(A,(SBD)=AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Ví dụ 3. Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AD $ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, thêm $AD=AC=4$cm; $AB = 3$cm; $BC = 5$cm. Tìm khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCD). $
Ví dụ 4. Cho hai mặt phẳng $(P),(Q)$ vuông góc với nhau và cắt nhau tại giao tuyến $ \Delta. $ Lấy $ A , B $ và $ \Delta $ và đặt $ AB=a $ . Lấy $C , D$ lần lượt thuộc hai mặt phẳng $(P),(Q)$ sao cho $AC , BD $ vuông góc với $ \Delta $ và $ AC=BD=a. $ Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCD).$
Khuyên nhủ. Trong cơ sở $AH\perp BC $ thì $ d(A,(BCD))=AH=\frac{a}{\sqrt{2}} $.
Ví dụ 5. Cho hình hộp đứng $$ABCD$.A’B’C’D’$ có đáy là hình vuông, tam giác $A’AC $ cân, $A’C=a $. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCD’)$ theo $a. $
Khuyên nhủ. Lưu ý rằng mặt phẳng $(BCD’)$ là mặt phẳng $(BCD’A’)$. Trả lời, khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCD’)$ bằng $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.
Khi tính toán trực tiếp khó khăn, chúng ta thường sử dụng nó quá trình trao đổi chính sáchđể tìm khoảng cách của các điểm dễ dàng tìm tọa độ trực giao.
Ví dụ 6. Cho tam giác đứng $ ABC.A’B’C’ $ có đáy $ABC $ là tam giác vuông $ A,AB=3a,AC=4a. $ Xác định các cạnh $AA’=4a$ và $M$ và $AA’$. Tính khoảng cách giữa ${d}(M,(A’B’C))$ và ${d}(M,(A’B’C))$.
Xem thêm: Chia Số Thực Cho J – Tính Chất, Tính Chất Của Số Thực
Ví dụ 7. Cho hình chóp $S.ABC $ có đáy là tam giác vuông $B,$ $AB=3a,$ $BC=4a.$ Mặt phẳng $(SBC)$ vuông góc với đáy và $SB=2a\sqrt { 3 },$$\widehat{SBC}=30^\circ. $ Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC). $
Khuyên nhủ. Gọi $SH$ là chiều cao của tam giác $SBC$, khi đó $SH\perp(ABC). $$ Ta có $$ \frac{{d}(B,(SAC))}{{d}(H,(SAC))}=\frac{BC}{HC}=4 $$ Từ đó ${d } (B,(ABC)) =\frac{6a}{\sqrt{7}}.$
3. Khoảng cách từ sân bay
Mời quý thầy cô và các em tải tài liệu về các bài toán mặt trong hình học không gian tại đây:
Tổng hợp tài liệu giải HHKG lớp 11 và luyện thi đại học, THPT, mời quý thầy cô và các em tham khảo 38+ bài hình học 11 hay nhất.
