Giải bài tập trang 18 bài 2 ngoài SGK Giải tích 12. Câu 1: Sử dụng quy tắc bậc nhất, hãy tìm các điểm chính của hàm số này:…
Bạn đang xem: Giải bài tập Toán trang 18 lớp 12
Bài 1 trang 18 sgk 12
Sử dụng quy tắc I, tìm giá trị lớn nhất của các giá trị sau:
a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{x^{3}} + {\rm{ }}3{x^2}}{\rm{ }}36x{\rm {}}-{\rm{}}10\);
b) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}x{^4} + {\rm{}}2{x^2}-{\rm{ }}3\) ;
c) \(y = x + {1 \over x}\)
d) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}{\ left( {1{\rm{}}}{\rm{ }}x} \right)^{2 }}\);
e) \(y = \sqrt {{x^2} – x + 1}\)
Phần thưởng:
a) Xác định cách đặt: \(D = \mathbb R\)
\(\eqalign{& y” = 6{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} – 36;y” = 0 \cr & \Leftrightarrow \left
Bảng chuyển đổi:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = -3\) và \(y\)CD \(= 71\)
Hàm này có cực tiểu tại \(x = 2\) và \(y\)CT \(= -54\)
b) Tập xác định: \(D = \mathbb R\)
\(y” = 4{{\rm{x}}}^3} + 4{\rm{x}} = 4{\rm{x}}\left({{x^2} + 1} \right ) \);
\(y” = 0 \Leftrightarrow x = 0\left({y = – 3} \right)\)
Bảng chuyển đổi:
Hàm này có cực tiểu tại \(x = 0\) và \(y\)CT \(= -3\)
c) Tập xác định: \(D = \mathbb R\)\ {0}
\(\eqalign{& y” = 1 – {1 \over {{x^2}}} = {{x^2} – 1} \over {{x^2}}}};y” = 0 \ cr & \leftrightarrow {x^2} – 1 = 0 \leftrightarrow \left
Thay đổi bảng
Hàm đạt tới \(x = -1\), \(y\)CD \(= -2\)
Hàm này có cực tiểu cho \(x = 1\), \(y\)CT \(= 2\)
d) Xác định tập hợp \ (D = \mathbb R\)
\( y” = 3{{\rm{x}}^2}{\left( {1 – x} \right)^2} – 2{{\rm{x}}}^3}\left( { 1 – x} \right)\)
\(= {x^2}\left( {1 – x} \right)\left( {3 – 5{\rm{x}}} \right)\)
\(\eqalign{&y” = 0 \Leftrightarrow \left
Bảng chuyển đổi:
Hàm kết thúc tại \(x = {3 \over 5};y = {{108} \over {3125}}\)
Hàm này có cực tiểu tại \(x = 1\), \(y\)CT =\(0\)
e) Vì \(x^2\) –\( x + 1 > 0, ∀ ∈ \mathbb R\) nên nhóm được chứng minh: \(D = \mathbb R\)
\(y” = {{2{\rm{x}}} – 1} \over {2\sqrt {{x^2} – x + 1}}};y = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 2 }\left ({y = {{\sqrt 3}\trên 2}}\right)\)
Bảng chuyển đổi:
Hàm này có giá trị nhỏ nhất \(x = {1 \over 2};{y_{CT}} = {{\sqrt 3} \over 2}\)
Bài 2 trang 18 sgk 12
Sử dụng quy tắc II, tìm số phức của các số sau:
a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4} – {\rm{}}2{x^2} + {\rm{ }}1\) ; \(b) y = sin2x – x\);
c)\(y = sinx + cosx\); d)\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{}}1\).
Phần thưởng:
a) \(y”{\rm{}} = 4{x^3}-{\rm{}}4x{\rm{ }} = {\rm{}}4x({x^2} – {\ rm{}}1)\);
\(y” = 0\) \(⇔ 4x(\)\(x^2\)\( – 1) = 0 ⇔ x = 0, x = \pm 1\).
\(y”” = 12x^2-4\).
\(y””(0) = -4 cđ =\(y(0) = 1\).
\(y””(\pm 1) = 8 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm1\),
\(y\)ct = \(y(\pm1)\) = 0.
b) \(y” = 2cos2x – 1\) ; \(y”=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi {3}+k2\pi \ )
\(\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi {6}+k\pi .\)
\(y”” = -4sin2x\) .
\(y””\left ( \frac{\pi }{6} +k\pi \right)=-4sin\left ( \frac{\pi {3} +k2\pi \right )=-2\ sqrt {3}cđ =\( sin(\frac{\pi}}{3}+ k2π) – \frac{\pi} {6} – kπ\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2 }-\frac{\pi {6}- kπ\) , \(k ∈\mathbb Z\).
\(y””\left ( -\frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left (- \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=2 \sqrt{3}>0\) để hàm đạt cực tiểu tại điểm \(x =-\frac{\pi }{6}+ kπ\),
\(y\)ct = \(sin(-\frac{\pi}{3}+ k2π) + \frac{\pi}{6} – kπ\) =\(-\frac{\sqrt{3} {2}+\frac{\pi}{6} – kπ\) , \(k \mathbb Z\).
c) \(y = sinx + cosx \)= \(\sqrt{2}sin\left (x+\frac{\pi}{4} \right)\);
\( y” \)=\(\sqrt{2}cos\left (x+\frac{\pi}{4} \right)\);
\(y”=0\Leftrightarrow cos\left (x+\frac{\pi}{4} \right)=0\Leftrightarrow\)\(x+\frac{\pi}{4} =\frac{\pi } {2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi .\)
\(y””=-\sqrt{2}sin\left (x+\frac{\pi}{4} \right).\)
\(y””\left ( \frac{\pi }{4} +k\pi \right )=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{4}+k\pi +\ frac{\pi}{4} \right)\)
\(=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi}{2} +k\pi \right)\)
\(=\left\{ \matrix{- \sqrt 2 \text{ nếu k chẵn} \hfill \cr \sqrt 2 \text{ nếu k lẻ} \hfill \cr} \right.\)
Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\frac{\pi} {4}+k2\pi\),
ít nhất tại điểm \(x=\frac{\pi}{4}+(2k+1)\pi (k\in \mathbb{Z}).\)
d) \(y”{\rm{}} = {\rm{}}5{x^4} – {\rm{}}3{x^2} – {\rm{}}2{\rm{ }} = {\rm{}}({x^2} – {\rm{}}1)(5{x^2} + {\rm{}}}2)\); \(y”{\ rm {}} = {\rm{ }} 0 \Leftrightarrow {x^{2}} – {\rm{}}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{} } x{\rm{}} = \pm 1\).
\(y””{\rm{}} = {\rm{}}20{x^{3}} – {\rm{}}6x\).
\(y””(1) = 14 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\),
\(y\)ct =\(y(1) = -1\).
\(y””(-1) = -14 cđ = \(y(-1) = 3\).
Bài 3 trang 18 sgk 12
Chứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt{\left | x \right |}\) không có lối ra tại \(x = 0\) nhưng vẫn có điểm cực tiểu tại đó.
Xem thêm: Bộ sưu tập 999+ ảnh đại bàng bay & ảnh chim miễn phí
Phần thưởng:
Đặt \(y=f(x)=\sqrt{\left | x \right |}\). Giả sử \(x> 0\), ta có:
\(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x}}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{1} {\sqrt{x}}=+\infty .\)
Do đó hàm không có đạo hàm tại \(x = 0\) . Tuy nhiên, chức năng này bị giới hạn cho \(x = 0\) vì \(f(x)=\sqrt{\left | x \right |}\geq 0=f(0),\forall x\in\mathbb R \).
