Bài trước đã học về công thức lượng giác, bài học này sẽ giúp các bạn vận dụng linh hoạt công thức để chuyển đổi các biểu thức lượng giác thông qua các ví dụ. Từ đó loại bỏ giá trị lượng giác của góc không duy nhất và đưa về giá trị lượng giác duy nhất.
Ví dụ 1. Giải biểu thức: A = cos10x + 2cos$^2$4x + 6cos3x.cosx – cosx – 8cosx.cos$^3$3x.
Bạn đang xem: Xem Lớp 10
Biến đổi biểu thức thành: A = cos10x + 1 + cos8x – cosx – 2(4cos$^3$3x – 3cos3x)cosx= 2cos9x.cosx + 1 – cosx – 2cos9x.cosx = 1 – cosx. Nhận xét: Vì vậy, để rút gọn câu nói trên, chúng tôi sử dụng phương pháp giảm dần bằng cách lấy ý chính thay đổi thành tóm tắt.Ví dụ 2. Thay đổi các từ đơn giản:Một. A = $\frac{{1 – {{\cos }^2}\left({\frac{\pi}}{2} + \alpha } \right)}}{{1 – {{\sin }^ 2 }\left( {\frac{\pi } {2} – \alpha } \right)} $ – cot($\frac{\pi }{2}$ – α).tan(α – $\frac{ \pi {2}$).b. B = $\frac{{{\sin }^4}2x + {{\cos }^4}2x}}{{\tan (\frac{\pi }{4} – x).\tan (\ frac {\pi}{4} + x)}}$.
Một. Chuyển A về dạng: A = $\frac{{1 – {{\sin }^2}\alpha }}{{1 – {{\cos }^2}\alpha }}$ + tanα.cotα = $ \ frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{\sin }^2}\alpha }}$ + 1 = $\frac{{{\cos }^2}\alpha + {{ \ sin }^2}\alpha }}{{{\sin }^2}\alpha }}$ = $\frac{1}{{{\sin }^2}\alpha }}$. b. Chuyển B về dạng: B = $\frac{{{{({{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x)}^2} – 2{{\sin }^2} 2 x . {{\cos }^2}2x}}{{\tan (\frac{\pi}}{4} – x).\cot (\frac{\pi {4} – x)>}}$ = 1 – $\frac{1}{2}$sin24x. Nhận xét: Do đó, để đơn giản biểu thức trên ta chỉ cần sử dụng hệ thức giữa các góc đặc biệt. Ví dụ 3. Giải biểu thức: A = $\frac{{\sin x + \sin 3x + \sin 5x}}{{\cos x + \cos 3x + \cos 5x}}$.
Ta có: sinx + sin3x + sin5x = sinx + sin5x + sin3x= 2sin3x.cos2x + sin3x = sin3x(2cos2x + 1). (1) cosx + cos3x + cos5x = cosx + cos5x + cos3x= 2cos3x.cos2x + cos3x = cos3x(1cos2x – 1). (2) Từ (1) và (2) suy ra: A = $\frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}}$ = tan3x. Bình luận: Tất nhiên, chúng tôi có thể đại diện cho những thay đổi trong TS và MS cùng một lúc. Phần trình bày ở trên là một minh chứng để sinh viên sử dụng để giải thích sự khác nhau của chuyển đổi giữa TS và MS.Ví dụ 4. Thay đổi các từ đơn giản:Một. A = $\left( {\frac{1}{{\cos 2x}} + 1} \right)$.tanx. b. B = cos8x.cot4x – $\frac{{{{\cot }^2}2x – 1}}{{2\cot 2x}}$.
Một. Ta thay đổi: A = $\frac{{1 + \cos 2x}}{{\cos 2x}}$.tanx = $\frac{{2{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x } }$.$\frac{{\sin x}}{{\cos x}}$= $\frac{{2\cos x.\sin x}}{{\cos 2x}}$ = $\frac { {\sin 2x}}{{\cos 2x}}$ = tan2x.b. Ta thay đổi: B = cos8x.cot4x – $\frac{{{\cos }^2}2x – {{\sin }^2}2x}}{{2\cos 2x.\sin 2x}}$= cos8x . $\frac{{\cos 4x}}{{\sin 4x}}$ – $\frac{{\cos 4x}}{{\sin 4x}}$= (cos8x – 1) $\frac{{\cos 4x}}{{\sin 4x}}$ = -2sin24x.$\frac{{\cos 4x}}{{\sin 4x}}$ = -2 sin4x.cos4x = -sin8x. Bình luận: Do đó để rút gọn các biểu thức hỗn hợp chứa sin, cos và tan, cot như trên ta chuyển tan, cot theo tỉ lệ thành sin, cos.Ví dụ 5. Thay đổi các từ đơn giản:Một. A = sin$^2$a + sin$^2$2a + … + sin$^2$na.b. B = $\frac{1}{{\sin a.\sin 2a}}$ + $\frac{1}{{\sin 2a.\sin 3a}}$ + … + $\frac{1} {{\sin na.\sin(n + 1)a}}$.
Một. Chúng ta thay đổi biểu thức này thành: A = $\frac{1}{2}$(1 – cos2a) + $\frac{1}{2}$(1 – cos4a) + … + $\frac{ 1} {2 }$(1 – cos2na)= $\frac{n}{2}$ – $\frac{1}{2}$(cos2a + cos4a + … + cos2na). Hãy xem xét hai kịch bản.:Trường hợp 1: Nếu a = kπ, k ∈ $\mathbb{Z}$ thì: cos2a = cos4a = … = cos2na = 1 ⇒ D = 0.Trường hợp 2: Nếu ≠ kπ, k ∈ $\mathbb{Z}$ thì ta có tổng: T = cos2a + cos4a + … + cos2na = $\frac{{\cos (n + 1)a.\sin na} { {\sin a}}$Từ đây, hãy xem xét: A = $\frac{n}{2}$ – $\frac{{\cos (n + 1)a.\sin na}}{{2\sin a}}$.b. Nhân cả hai vế của số hạng sina, ta được: B.sina = $\frac{{\sin a}}{{\sin a.\sin 2a}}$ + $\frac{{\sin a}} { { \sin 2a.\sin 3a}}$ + … + $\frac{{\sin a}}{{\sin na.\sin (n + 1)a}}$= $\frac{{\sin (2a – a)}}{{\sin a.\sin 2a}}$ + $\frac{{\sin (3a – 2a)}}{{\sin 2a.\sin 3a}}$ + . . . + $\frac{{\sin }}{{\sin na.\sin (n + 1)a}}$= cota – cot2a + cot2a – cot3a + … + cotna – cot(n + 1)a= cota – cot(n + 1)a = $\frac{{\sin na}}{{\sin a.\sin (n + 1)a}}$⇔ B = $\frac{{\sin na}} { { {{\sin }^2}a.\sin (n + 1)a}}$. Ví dụ 6. Giải biểu thức đơn giản A = $\frac{1}{{\sin a}}$ + $\frac{1}{{\sin 2a}}$ + … + $\frac{1}{{\sin { 2^n}a}}$.
Ta có: $\frac{1}{{\sin {2^k}a}}$ = $\frac{{1 + \cos {2^k}a – \cos {2^k}a}}{ {\sin {2^k}a}}$ = $\frac{{1 + \cos {2^k}a}}{{\sin {2^k}a}}$ – $\frac{{\ cos {2^k}a}}{{\sin {2^k}}}$= $\frac{{2{{\cos }^2}{2^{k – 1}}a}} {2 \sin {2^{k – 1}}a.\cos {2^{k – 1}}a}}$ – cot$^{2k}$a = cot2$^{k-1}$a – cot2 $^{k}$a. Suy ra: A = cot$\frac{a}{2}$ – cota + cota – cot2a + … + cot$^{2n-1}$a – cot$ ^ {2n }$a = cot$\frac{a}{2}$ – cot2$^n$a. Ví dụ 7. Giải biểu thức: A = tana.tan2a + tan2a.tan3a + … + tan(n – 1)a.tanna.
Ta có: tana = tana = $\frac{{\tan (k + 1)a – \tan ka}}{{1 + \tan (k + 1)a.\tan ka}}$⇔ tanka.tan( k + 1)a = $\frac{{\tan(k + 1)a – \tan ka}}{{\tan a}}$ – 1, vì vậy: tana.tan2a = $\frac{{\tan 2a – \tan a}}{{\tan a}}$ – 1; tan2a.tan3a = $\frac{{\tan 3a – \tan 2a}}{{\tan a}}$ – 1…tan(n – 1)a.tanna = $\frac{{\tan na – \tan (n – 1)a}}{{\tan a}}$ – 1 suy ra: A = $\frac{{\tan na – \tan a}}{{\tan a}}$ – (n – 1) = $\frac{{\tan na}}{{\tan a}}$ – n. Lưu ý: Kết quả của bài toán trên được dùng để rút gọn biểu thức: A = $\frac{1}{{\cos a.\cos 2a}}$ + $\frac{1}{{\cos 2a.\cos 3a} } $ + … + $\frac{1}{{\cos na.\cos (n + 1)a}}$.Thật vậy, nếu chúng ta nhân cả hai vế của phương trình với cosa, chúng ta sẽ có: B.cosa = $\frac{{\cos a}}{{\cos a.\cos 2a}}$ + $\frac{{\cos a} {{\cos 2a.\cos 3a}}$ + … + $\frac{{\cos a}}{{\cos na.\cos (n + 1)a}}$= $ \ frac{ {\cos (2a – a)}}{{\cos a.\cos 2a}}$ + $\frac{{\cos (3a – 2a)}}{{\cos 2a.\cos 3a} } $ + … + $\frac{{\cos }}{{\cos na.\cos (n + 1)a}}$= 1 + tana.tan2a + 1 + tan2a.tan3a + … + 1 + tanna .tan(n + 1)a= n + tana.tan2a + tan2a.tan3a + … + tanna.tan(n + 1)a= n + $\frac{{\tan (n + 1) a }} {{\tan a}}$ – n – 1 = $\frac{{\tan (n + 1)a}}{{\tan a}}$ – 1. Tuy nhiên, có thể sử dụng sina để tìm nghiệm độc lập Ví dụ 8. Giải biểu thức đơn giản A = tana + $\frac{1}{2}$tan$\frac{a}{2}$ + … + $\frac{1}{{2^n}}}$ tan $ \frac{a}{{{2^n}}}$.
Lưu ý rằng: cotx – tanx = $\frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{\sin x.\cos x}}$ = $\frac { {2\cos 2x}}{{\sin 2x}}$ = 2cot2x ⇔ tanx = cotx – 2cot2x. Từ đó, ta có kết quả: tana = cota – 2cot2a, $\frac{1}{2}$ tan$ \frac{a}{2}$ = $\frac{1}{2}$cot$\frac { a}{2}$ – cota,…$\frac{1}{{2^n} }} $tan$\frac{a}{{{2^n}}}$ = $\frac{1} { {{2^n}}}$cot$\frac{a}{{2^n) } }}$ – $\frac{1}{{2^{n – 1}}}}$cot$\ frac {a}{{{2^{n – 1}}}}}$. Thêm một đoạn văn. ở trên, ta có A = $\frac{1}{{{2^n}}}$cot$\frac{a}{{{2^n}}}}$ – 2cot2a. Ví dụ 9. Giải biểu thức A = $\frac{{\sqrt {1 + \sin 2x} + \sqrt {1 – \sin 2x} }}{{\sqrt {1 + \sin 2x} – \sqrt {1 – \sin 2x } }}$ và – $\frac{\pi}{4}$ A = $\frac{{{{(\sqrt {1 + \sin 2x} + \sqrt {1 – \sin 2x} ) } ^ 2}}}{(\sqrt {1 + \sin 2x} – \sqrt {1 – \sin 2x} ))(\sqrt {1 + \sin 2x} + \sqrt {1 – \sin 2x} ) } }$= $\frac{{1 + \sin 2x + 2\sqrt {1 – {{\sin }^2}2x} + 1 – \sin 2x}}{{1 + \sin 2x – 1 + \sin 2x}$= $\frac{{1 + \sqrt {{{\cos }^2}2x} }}{{\sin 2x}}$ = $\frac{{1 + |\cos 2x|} } { {\sin 2x}}$$\mathop = \limit^{ – \frac{\pi} {4} Lưu ý: Người ta có thể sử dụng kết quả của ví dụ trên để đưa ra các yêu cầu thú vị. xem xét những điều sau đây:Để ∈ \{0} thỏa mãn tanx = $\frac{{\sqrt {1 + t} + \sqrt {1 – t} }}{{\sqrt {1 + t} – \sqrt {1 – t} } } }$. Chứng minh rằng t = sin2x”. Đầu tiên: tanx = $\frac{{{((\sqrt {1 + t} + \sqrt {1 – t} )}^2}}}{{(\sqrt {1 + t } – \sqrt {1 – t} )(\sqrt {1 + t} + \sqrt {1 – t} )}}$ = $\frac{{1 + \sqrt {1 – {t^2}}} }{t}$. Ngược lại: sin2x = $\frac{{2\tan x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}$ = $\frac{{2.\frac {{ 1 } + \sqrt {1 – {t^2}} }}{t}}}{1 + {{\left( {\frac{{1 + \sqrt {1 – {t^2}}}} {t }} \right)}^2}}}$ = $\frac{{2(1 + \sqrt {1 – {t^2}} )t}}{{2(1 + \sqrt {1 – {t ^2}} )}}$ = t. Lưu ý: Trong các đề thi chúng ta thường bắt gặp yêu cầu “Chứng minh đẳng thức lượng giác không chứa biến”.Ví dụ 10. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = cos$^2$(x – $\frac{\pi }{3}$) + cos2x + cos2(x + $\frac{\pi}{3} $ ).
Ta có thể chọn một trong hai phương án sau: Phương án 1: Chúng tôi thay đổi:A = (cosx.cos$\frac{\pi }{3}$ + sinx.sin$\frac{\pi }{3}$)2 + cos2x + (cosx.cos$\frac{\pi }{3 } }$ – sinx.sin$\frac{\pi }{3}$)2= ($\frac{1}{2}$cosx + $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$sinx) 2 + cos2x + ($\frac{1}{2}$cosx – $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$sinx)2= $\frac{1}{2}$cos$^2$ x + $\frac{3}{2}$sin$^2$x + cos$^2$x = $\frac{3}{2}$(sin$^2$x + cos$^2$x ) = $\frac{3}{2}$. Vì vậy, số hạng A không phụ thuộc vào x. Cách 2: Ta thay đổi:A = $\frac{1}{2}$ + cos2x + $\frac{1}{2}$= 1 + cos2x + $\frac{1}{2}$
Xem thêm: Từ điển Anh-Việt ” Nhà là gì, nghĩa của từ Building
Ta biến đổi: A = cosx + cos(x + 6a) + cos(x + 2a) + cos(x + 4a) = 2cos(x + 3a).cos3a + 2cos(x + 3a).cosa = 2(cos3a) + cosa)cos(x + 3a). Để số hạng này không phụ thuộc vào x thì điều kiện là: cosa + cosa = 0 ⇔ cos3a = cos(π – a) = 0⇔ $\left
